Más frases matemáticas

Aquí van más frases matemáticas. Ésta es sencillita:

3 personas de cada 2 tienen problemas con las fracciones

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Ésta, dedicada también a los informáticos:

Generar números aleatorios es demasiado importante para dejarlo al azar

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El dibujo que acompaña a esta frase es la gráfica de la función tangente:

Los matemáticos siempre se salen por la tangente

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Ahora voy a poner algunas para las que se necesita saber algo de matemáticas. Esta frase, por ejemplo, me parece muy buena:

Únete a un grupo. Ten una identidad.

Explicación. Un grupo es una estructura algebraica que puede dotarse a un conjunto y que cumple ciertas propiedades. Un ejemplo fácil: se dice que el conjunto de los números racionales (las fracciones) con la operación "multiplicación" tiene estructura de grupo porque cumple ciertas propiedades (asociativa, elemento neutro, elemento inverso,...). Una de ellas es la de existir un elemento, denominado elemento neutro o identidad, cuya propiedad cosiste en que al multiplicarlo por cualquier otro número lo deja invariante. Para que se entienda:

1 x 7 = 7
1 x 13 = 13

El 1 es el número que hace papel de identidad en esta operación. Todo grupo tiene que tener un elemento que haga de identidad... de ahí viene el sentido de la frase.

Además, en el dibujo aparece la tabla de multiplicar correspondiente al grupo multiplicativo de dos elementos.
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Esta frase es de las que más me gustan. Me parece genial.

El número que ha marcado es imaginario.
Por favor, gire su teléfono 90 grados e inténtelo de nuevo.

Explicación. Cuando se representan gráficamente en el plano complejo, los números imaginarios son números complejos cuya representación gráfica siempre está sobre el eje vertical. Los números reales se representan sobre el eje horizontal. Conclusión: si un número imaginario se gira 90º, se convierte en número real. De ahí el sentido de la frase.
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Para terminar, una frase que solamente tiene sentido en inglés.

Sin la geometría, la vida no tendría sentido (no tendría puntos)

En inglés, pointless significa sin sentido, pero literalmente se podría traducir como sin puntos.

Relojes complejos

No, no se trata de hablar de relojes con el mecanismo muy complicado. Me refiero a relojes en los que los números ordinarios se han sustituido por números complejos (según el sentido matemático de la expresión).

Reloj COMPLEJO EN FORMA BINÓMICA

Imaginando cada número de un reloj ordinario sobre la circunferencia unidad con centro en el origen de coordenadas, éstos se han sustituido por la expresión que tendrían como número complejo en forma polar.

Otra manera de ver este reloj es que en él se han representado las doce raíces duodécimas de la unidad. Es decir, las doce soluciones complejas de la ecuación

Reloj COMPLEJO EN FORMA POLAR

Los valores numéricos que aparecen en este reloj son los mismos que los del anterior, pero expresados en forma polar. La fórmula que permite pasar de uno a otro es ésta:

Recuerdo con añoranza mis días de COU (17-18 años) cuando podía deducirse esta fórmula (aunque no con demasiado rigor) a partir de los desarrollos en serie de Taylor de las funciones exponencial, seno y coseno. Esa parte del temario ya no se imparte en el 2º de Bachillerato actual.

Todavía sigue impresionándome la conocida fórmula de Euler cada vez que la veo (se puede constatar esta fórmula en las posiciones del número 9 de ambos relojes):

Es impresionante cómo puede haber una fórmula tan simple en la que aparecen los que podríamos llamar los cinco números más importantes de las matemáticas.

Más relojes matemáticos

Aquí van más relojes que he visto en CafePress.

Reloj TRIGONOMÉTRICO

No se puede apreciar bien en la imagen, pero la superficie del reloj contiene varias fórmulas trigonométricas de las que se estudian en Matemáticas-I 1º de Bachillerato (alumnos de 16-17 años).

En este reloj se ha llamado al ángulo que hay entre las posiciones del número 3 y del número 2 de un reloj ordinario. Así, por ejemplo, en color rojo y cerca del número 1 del reloj, aparece esta fórmula:

Es una manera de poner dos fórmulas en una misma expresión. En 1º de Bachillerato estas fórmulas se conocen como las que relacionan las razones trigonométricas de dos ángulos complementarios.

Así para el resto de fórmulas que hay en este reloj.

Reloj ANGULAR-CARTESIANO

En este reloj se ha sustitiudo cada número por tres elementos matemáticos. La informción mas interior del círculo consiste en la medida en grados del ángulo en sentido positivo (antihorario) a partir de la posición del número 3 de un reloj ordinario. Se han añadido también los angulos de 45º, 135º, 225º y 315º, que en realidad no corresponden a ningún número de un reloj ordinario.

La segunda información (donde aparece tanto número pi) es como la primera, pero dando la medida de los ángulos en radianes.

La información más exterior consiste en las coordenadas cartesianas de las posiciones de los números de un reloj ordinario sobre la circunferencia unidad, añadiendo algunos puntos más (los correspondientes a los ángulos añadidos que mencioné antes).

Este reloj podría servir de chuleta para que los alumnos de Bachillerato se aprendieran las razones trigonométricas de los ángulos más comunes.

Relojes angulares

En mi entrada anterior ya hablé de CafePress, la tienda para todo tipo de frikis (así es, al menos, como yo la veo). Venden unos relojes que me encantan. Aquí tenéis una muestra. Voy intentar explicar el significado de ellos para aquellos que no tengan muchos conocimientos matemáticos.

Ya enseñé varios relojes binarios en mi entrada anterior. Aquí tenéis lo que podríamos llamar relojes angulares.

Reloj RADIANES DESDE LAS 12

En este reloj se ha sustituido cada número de las horas por la medida en radianes del ángulo que recorre la manecilla horaria desde la posición de las 12. Para quien no conozca los radianes, aquí están algunas equivalencias con los grados sexagesimales (los que conoce todo el mundo):

Por eso el número 6, por ejemplo, se ha sustituido por pi (radianes), ya que desde las 12 hasta las 6 la manecilla horaria ha recorrido 180º.

Reloj RADIANES DESDE EL EJE OX

Es parecido al anterior. En este caso los radianes comienzan a contarse desde lo que sería la parte positiva del eje de las X, es decir, desde el número 3 de un reloj ordinario. A partir de ahí vamos contando radianes hacia las 4 las 5, etc. Pero, atención, este sentido de giro es el que en matemáticas se considera el sentido de giro negativo. Por eso los radianes vienen todos con un signo menos delante. Matemáticamente hablando, un giro de la manecilla horaria desde la posición de las 3 hasta la posición de las 4 supone un giro de menos 15 grados, es decir, "menos pi sextos radianes". Por eso, en lugar del número 4, pone menos pi sextos.

A que mola... (espero que haya por ahí algún aficionado a las matemáticas que me entienda).

Pues no veáis lo que molan también los relojes en los que aparecen números primos, números complejos, fórmulas trigonométricas,... Los veréis en próximas entradas.

Para terminar, otra frase (en CafePress se venden camisetas, tazas, etc. con ese tipo de frases):

Me gustan los ángulos... hasta cierto grado.

I like angles... to a degree.

9 del 9 del 9, códigos de numeración

Cuando me di cuenta de la fecha, 9 del 9 del 9, la conexión espontánea que me vino a la mente fue que esa casualidad se debía al código que emplea gran parte de la humanidad para el cómputo del tiempo. No es más que una convención. Si el sistema para el cómputo del tiempo hubiera sido otro, el día de hoy habría tenido un código más vulgar. Según el calendario hebreo, hoy sería el 20-12-5769 (día-mes-año), por ejemplo.

El caso es que pasé a pensar en los sistemas de numeración en diferentes bases.

Cuando yo los estudié, allá por los tiempos de la EGB (en mi época estudiábamos esas cosas... tan jóvenes), el que más impactaba era, sin duda, el sistema binario. Era sorprendente ver que, en lugar de 10 dígitos, con solamente dos, el 0 y el 1, se podían ir formando sucesivamente los números naturales:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, etc.

Otra cosa graciosa era que la cantidad de cifras aumentaba rapidísimo. Cuando nos enseñaron el algoritmo para convertir un número entero cualquiera en código binario, ocurrían cosas como ésta (no me acostumbro a no acentuar "esta" cuando hace de pronombre... es una norma nueva que me cuesta cumplir):

87 (en sistema decimal) = 1010111 (en sistema binario)

Ahora ya no hace falta recordar el algoritmo (y el caso es que era fácil y bonito, con un montón de divisiones sucesivas)... La calculadora de Windows realiza la conversión al instante.

¿Quién me iba a decir a mí que, años después, ese sistema binario iba a ser tan famoso gracias a la informática? Cuando yo estudié las bases de numeración, incluyendo el sistema binario, con 12 ó 13 años, aún pasarían dos o tres años para que yo viera una calculadora por primera vez.

Bueno, pues, realizando otra conexión con aquello del cómputo del tiempo y el sistema de numeración binario, aquí tenéis un regalo interesante para un matemático o para un informático:

Lo reconozco. Seré un friki de las matemáticas... pero me encanta. Aquí tenéis otras versiones:

Estos relojes son fruto de un descubrimiento que me dejó impresionado hace poco: CafePress, la tienda para frikis de todo tipo. ¿Tienes un amigo matemático y quieres hacerle un regalo? En CaféPress tienes, no decenas, ni centenas, sino miles de artículos con dibujos matemáticos, frases matemáticas, relojes, camisetas, tazas, bolsas, pines, cartas, calendarios..., impresionante. Por ejemplo, regalos en que aparece el número Pi... bufff, cientos de productos.

Y no sólo para matemáticos. Hay productos para todo tipo de aficiones y circunstancias. Curiosidad: igual hay productos pro-Obama que anti-Obama... el caso es vender.

Y para acabar, una frase genial que he descubierto en esa tienda (la venden impresa en una camiseta o en lo que sea):

En el mundo hay 10 tipos de personas: los que entienden los números binarios y los que no.

There are 10 types of people in the world. Those who understand binary, and those who don't.

Hamamatsu: cometas japonesas de pelea

A medida que voy conociendo más y más detalles de las cometas chinas y japonesas, mi conclusión se confirma: los chinos son delicados con sus cometas.... Por el contrario, a los japoneses les gusta hacer el bruto con las suyas.

Podéis comprobar cómo se lo toman los japoneses cuando se trata de hacer derribar las cometas de los contrincantes en este vídeo. El festival de Hahamamtsu (Japón) se celebra a principios de mayo (justo por mi cumpleaños). Una de las actividades principales es la pelea de cometas. Pero, claro, son cometas bastante grandes y han de ser manejadas por equipos compuestos por varias personas. Y ahí están los japoneses, con sus gritos y sus ganas de ganar como sea, haciendo que su cometa sea la que derribe a todas las demás.

Casi hasta da pena ver cómo los abnegados constructores decoran y arman con cuidado el papel washi sobre el armazón de bambú, perfectamente medido y equilibrado, todo de manera artesanal... para que luego los equipos que lanzan al viento sus cometas se dediquen a hacer el bestia con ellas. Eso sí, se lo deben pasar de miedo todos los días que dura la fiesta.



¿Os habéis fijado en el truco de "la rueda"? Casi al final de vídeo se puede ver a un equipo que intenta izar su cometa tirando del hilo. Como no tienen una distancia larga para correr ya que está todo abarrotado de gente, lo que hacen es coger todos la cuerda, corren un poco, el último de la fila suelta la cuerda y se pone el primero, luego le imita el siguiente, y así continúan como una rueda... La jugada se parece mucho al modo en que una varios ciclistas rodando en fila van haciendo los relevos.

Y el caso es que estas cometas que se ven en el vídeo son grandes, pero no tanto... Tendrías que ver cómo se las gastan en el festival de Shirone, otro de los grandes en la cultura cometera japonesa. Ahí se pueden llegar a ver hasta cincuenta o más japoneses tirando de la cuerda de una cometa de varios metros de diámetro.

Horizonte lejano

Este verano subí al Teide y quedé impresionado. Los paisajes, los colores, las formas de las rocas. Allí arriba me sentía como un astronauta caminando por un paisaje extraterrestre.

Miré hacia el horizonte más lejano que podía divisar. ¿Cómo de lejos estará? La atmósfera terrestre, las nubes, la calima... Todos son impedimentos para poder divisar con perfecta definición ese horizonte... Y Amanda está tan lejos... Aunque, quizás, ¿quién sabe? ¿Sería posible?... ¿Podría ser que mi vista pudiera alcanzar tanta distancia? Sí, vale, es mucha distancia. Amanda está a la otra orilla del océano, a más de 6000 kilómetros de aquí. Después de todo, yo me encontraba a más de 3000 metros sobre la superficie de La Tierra. Da la impresión de que eso es una altura respetable para poder divisar muy, muy lejos.

Así que, manos a la obra... Lógicamente, hay que recurrir a las matemáticas para poder contestar a esas preguntas.

Pues, veréis, según mis cálculos, para poder divisar Miami desde el Teide, éste tendría que medir una altura de... ¡¡ 5023 kilómetros!! Y el pobre Teide, con todo lo alto que parece, y os aseguro que impresiona cuando se ve, solamente mide 3,7 kilómetros de altura. Vaya... mi gozo en un pozo.

Otra manera de verlo. La distancia entre el Teide y Miami, medida sobre la superficie terrestre, es de 6227 kilómetros. La distancia que puede alcanzar la vista desde el Teide es de 218 kilómetros... Así que todavía falta bastante.

Y ahora me pregunto yo: ¿Y si hago que la mismísima Estación Espacial Internacional se parara sobre el Teide? ¿A esa altura podré divisar Miami? Pues la respuesta me ha dejado impresionado. Veréis, la Estación Espacial Internacional vuela a una altura de unos 360 kilómetros sobre la superficie de La Tierra. Así que, ya veis, ¡¡todavía falta mucho para poder alcanzar la altura de los 5023 kilómetros requeridos!! Después de todo, la Estación Espacial Internacional no vuela tan alto como parece.

En mi deseo de subir más alto todavía se me ha ocurrido otra cosa. Podría subirme a alguno de los satélites que hacen funcionar el sistema GPS (siempre sin salirme de la vertical del Teide). A ver si éstos vuelan más alto... Esperad un momento que lo averigüe... Menos mal, acabo de comprobar que vuelan a una altura de 20200 kilómetros. Desde ahí puedo ver Miami y mucho más lejos todavía.

Interesante, ¿verdad? Para llegar a todos estos cálculos basta conocer la latitud y la longitud del Teide y de Miami, y por supuesto, el radio de La Tierra... Reconozco que para simplificar los cálculos he supuesto que superficie de La Tierra es una esfera perfecta.

En esta página web hay varias utilidades interesantes que permiten simplificar bastante los cálculos que hay que realizar. A partir de ella he tomado los siguientes datos:

Coordenadas del Teide: 28'29º de latitud norte, 16'63º de longitud oeste.
Coordenadas de Miami: 25'76º de latitud norte, 80'20º de longitud oeste.
Radio de La Tierra: 6371 kilómetros.

A partir de los datos anteriores, y con un poco de las matemáticas de un nivel de 2º de Bachillerato, se puede deducir todo esto:

Medida del arco de geodésica que une el Teide con Miami: 56º.
Distancia Teide-Miami medida sobre la superficie de La Tierra: 6227 kilómetros.
Altura que debería tener el Teide para poder divisar Miami desde su cima: 5023 kilómetros.